Quanta Magazine

16 mai 2023

Harol Bustos pour le magazine Quanta

Rédacteur principal

16 mai 2023

En 2009, une paire d'astronomes de l'Observatoire de Paris a annoncé une découverte surprenante. Après avoir construit un modèle informatique détaillé de notre système solaire, ils ont exécuté des milliers de simulations numériques, projetant les mouvements des planètes des milliards d'années dans le futur. Dans la plupart de ces simulations - qui faisaient varier le point de départ de Mercure sur une plage d'un peu moins d'un mètre - tout s'est déroulé comme prévu. Les planètes ont continué à tourner autour du soleil, traçant des orbites en forme d'ellipse qui ressemblaient plus ou moins à ce qu'elles ont tout au long de l'histoire humaine.

Mais environ 1% du temps, les choses allaient de travers - littéralement. La forme de l'orbite de Mercure a considérablement changé. Sa trajectoire elliptique s'est progressivement aplatie, jusqu'à ce que la planète s'effondre sur le soleil ou entre en collision avec Vénus. Parfois, alors qu'il se frayait un nouveau chemin dans l'espace, son comportement déstabilisait également d'autres planètes : Mars, par exemple, pouvait être éjecté du système solaire ou s'écraser sur la Terre. Vénus et la Terre pourraient, dans une lente danse cosmique, échanger plusieurs fois leurs orbites avant de finalement entrer en collision.

Peut-être que le système solaire n'était pas aussi stable que les gens le pensaient autrefois.

Pendant des siècles, depuis qu'Isaac Newton a formulé ses lois du mouvement et de la gravité, les mathématiciens et les astronomes se sont attaqués à ce problème. Dans le modèle le plus simple du système solaire, qui ne considère que les forces gravitationnelles exercées par le soleil, les planètes suivent leurs orbites elliptiques comme une horloge pour l'éternité. "C'est un peu une image réconfortante", a déclaré Richard Moeckel, mathématicien à l'Université du Minnesota. "Cela va durer éternellement, et nous serons partis depuis longtemps, mais Jupiter continuera de tourner."

Mais une fois que vous tenez compte de l'attraction gravitationnelle entre les planètes elles-mêmes, tout devient plus compliqué. Vous ne pouvez plus calculer explicitement les positions et les vitesses des planètes sur de longues périodes de temps, et devez plutôt poser des questions qualitatives sur la façon dont elles pourraient se comporter. Les effets de l'attraction mutuelle des planètes pourraient-ils s'accumuler et briser le mouvement d'horlogerie ?

Des simulations numériques détaillées, comme celles publiées par Jacques Laskar et Mickaël Gastineau de l'Observatoire de Paris en 2009, suggèrent qu'il y a une petite mais réelle chance que les choses tournent mal. Mais ces simulations, bien qu'importantes, ne sont pas la même chose qu'une preuve mathématique. Ils ne peuvent pas être complètement précis et, comme le montrent les simulations elles-mêmes, une petite imprécision peut - au cours de milliards d'années simulées - conduire à des résultats très différents. De plus, ils ne fournissent pas d'explication sous-jacente pour expliquer pourquoi certains événements pourraient se produire. "Vous voulez comprendre quels mécanismes mathématiques sont à l'origine des instabilités et prouver qu'ils existent réellement", a déclaré Marcel Guàrdia, mathématicien à l'Université de Barcelone.

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Les mathématiciens Marcel Guàrdia (à gauche) et Jacques Fejoz collaborent depuis des années à la recherche d'une preuve que l'instabilité peut survenir dans un système solaire modèle.

Jessica Massetti

Maintenant, dans trois articles qui ensemble dépassent 150 pages, Guàrdia et deux collaborateurs ont prouvé pour la première fois que l'instabilité survient inévitablement dans un modèle de planètes en orbite autour d'un soleil.

"Le résultat est vraiment très spectaculaire", a déclaré Gabriella Pinzari, physicienne mathématicienne à l'Université de Padoue en Italie. "Les auteurs ont prouvé un théorème qui est l'un des plus beaux théorèmes qu'on puisse prouver." Cela pourrait également aider à expliquer pourquoi notre système solaire ressemble à cela.

Il y a des siècles, il était déjà clair que les interactions entre les planètes pouvaient avoir des effets à long terme. Considérez Mercure. Il faut environ trois mois pour faire le tour du soleil sur une trajectoire elliptique. Mais ce chemin tourne aussi lentement - un degré tous les 600 ans, une rotation complète tous les 200 000. Ce type de rotation, connu sous le nom de précession, est en grande partie le résultat de l'attraction de Vénus, de la Terre et de Jupiter sur Mercure.

Mais les recherches menées au XVIIIe siècle par des géants des mathématiques comme Pierre-Simon Laplace et Joseph-Louis Lagrange ont indiqué que, précession mise à part, la taille et la forme de l'ellipse sont stables. Ce n'est qu'à la fin du 19ème siècle que cette intuition a commencé à changer, quand Henri Poincaré a découvert que même dans un modèle avec seulement trois corps (par exemple, une étoile en orbite autour de deux planètes), il est impossible de calculer des solutions exactes aux équations de Newton. "La mécanique céleste est une chose délicate", a déclaré Rafael de la Llave, mathématicien au Georgia Institute of Technology. Modifiez les conditions initiales d'un cheveu - par exemple, en déplaçant la position supposée d'une planète d'un simple mètre, comme Laskar et Gastineau l'ont fait dans leurs simulations - et sur de longues échelles de temps, le système peut sembler très différent.

Dans le problème à trois corps, Poincaré a trouvé un enchevêtrement de comportements possibles si compliqué qu'il a d'abord pensé qu'il avait fait une erreur. Une fois qu'il a accepté la véracité de ses résultats, il n'était plus possible de tenir la stabilité du système solaire pour acquise. Mais parce que travailler avec les équations de Newton est si difficile, il n'était pas clair si le comportement du système solaire pourrait être compliqué et chaotique uniquement à petite échelle - les planètes pourraient se retrouver dans des positions différentes dans une bande prévisible, par exemple - ou si , comme Guàrdia et ses collaborateurs finiront par le prouver dans leur propre modèle, la taille et la forme des orbites pourraient tellement changer que les planètes pourraient éventuellement s'écraser ou voyager à l'infini.

Puis, en 1964, le mathématicien Vladimir Arnold a écrit un article de quatre pages qui a établi le bon langage pour formuler le problème. Il a trouvé une raison spécifique pour laquelle les variables clés d'un système dynamique peuvent changer de manière considérable. Tout d'abord, il a concocté un exemple artificiel, un étrange mélange d'un pendule et d'un rotor qui ne ressemblait en rien à tout ce que vous rencontriez dans la nature. Dans ce modèle de jouet, il a prouvé que, avec suffisamment de temps, certaines quantités qui restent généralement constantes peuvent changer de manière importante.

Arnold a alors conjecturé que la plupart des systèmes dynamiques devraient présenter ce type d'instabilité. Dans le cas du système solaire, cela pourrait signifier que les formes orbitales, ou les excentricités, de certaines planètes pourraient potentiellement changer sur des milliards d'années.

Mais alors que les mathématiciens et les physiciens ont finalement fait beaucoup de progrès pour prouver que l'instabilité se produit en général, ils ont eu du mal à le montrer pour les modèles célestes. C'est parce que l'effet gravitationnel du soleil est si puissant que de nombreuses caractéristiques du modèle planétaire d'horlogerie persistent même si l'on considère les forces supplémentaires exercées par les planètes. (Dans ce contexte, la mécanique newtonienne donne une si bonne approximation de la réalité que ces modèles n'ont pas besoin de prendre en compte les effets de la relativité générale.) Une telle stabilité inhérente rend l'instabilité difficile à détecter.

Les paramètres qui sont restés si stables dans les calculs effectués par Laplace, Lagrange et d'autres pourraient-ils vraiment changer de manière significative ? "Il faut gérer une instabilité extrêmement faible", a déclaré Laurent Niederman de l'université Paris-Saclay. Les méthodes habituelles ne l'attraperont pas.

Des simulations numériques laissaient espérer que la recherche d'une telle preuve n'était pas vaine. Et il y avait des preuves préliminaires. En 2016, par exemple, de la Llave et deux collègues ont prouvé l'instabilité d'un modèle de mécanique céleste simplifié composé d'un soleil, d'une planète et d'une comète, où la comète était supposée n'avoir aucune masse et donc aucun effet gravitationnel sur la planète. Cette configuration est connue sous le nom de problème à n corps "restreint".

Les nouveaux articles abordent un véritable problème à n corps - montrant que l'instabilité se produit dans un système planétaire où trois petits corps tournent autour d'un soleil beaucoup plus grand. Même si la taille et la forme des orbites peuvent osciller longtemps autour de valeurs fixes, elles finiront par changer radicalement.

On s'y attendait — on croyait généralement que stabilité et instabilité coexistent dans ce genre de modèle — mais les mathématiciens furent les premiers à le prouver.

En collaboration avec Jacques Fejoz de l'Université de Paris Dauphine, Guàrdia a d'abord tenté de prouver l'instabilité dans le problème des trois corps (un soleil, deux planètes) en 2016. Bien qu'ils aient pu montrer qu'une dynamique chaotique se produisait dans la saveur de Poincaré, ils n'a pas pu prouver que ce comportement chaotique correspondait à des changements importants et à long terme.

Andrew Clarke, un postdoc étudiant sous Guàrdia, les a rejoints en septembre 2020, et ils ont décidé de donner une autre chance au problème, cette fois en ajoutant une planète supplémentaire au mélange. Dans leur modèle, trois planètes tournent autour d'un soleil à des distances de plus en plus grandes les unes des autres. Fondamentalement, la planète la plus interne commence à orbiter avec une inclinaison significative par rapport aux deuxième et troisième planètes, de sorte que sa trajectoire forme pratiquement un angle droit avec la leur.

Cette inclination a permis aux mathématiciens de trouver des conditions initiales qui entraînent une instabilité.

Ils ont montré l'existence de trajectoires qui ont conduit à pratiquement toutes les excentricités possibles pour la deuxième planète : avec le temps, il était possible que son ellipse s'aplatisse jusqu'à ce qu'elle ressemble presque à une ligne droite. Pendant ce temps, les orbites des deuxième et troisième planètes, qui avaient commencé dans le même plan, pourraient également se retrouver perpendiculaires l'une à l'autre. La deuxième planète pourrait même pivoter de 180 degrés, de sorte que si toutes les planètes se sont d'abord déplacées dans le sens des aiguilles d'une montre autour du soleil, la seconde a fini par se déplacer dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. "Imaginez que vous anticipez un million d'années et que Mars va dans le sens inverse", a déclaré Richard Montgomery de l'Université de Californie à Santa Cruz. "Ce serait bizarre."

"Vous ne pouvez pas éviter les orbites très sauvages, même dans ce cadre simple", a déclaré Niederman.

Même ainsi, les tailles des orbites sont restées stables. En effet, dans ce modèle, les planètes se déplacent très rapidement autour du soleil par rapport au temps qu'il faut à leurs orbites pour précéder, ce qui permet aux mathématiciens de passer sous silence les variables "rapides" liées aux mouvements des planètes. "Il est fastidieux de penser à ce qui se passe chaque année si ce qui vous intéresse vraiment, c'est ce qui se passe sur mille ans", a déclaré Moeckel. Les oscillations de la taille de chaque ellipse (mesurées en fonction de son grand rayon ou de son demi-grand axe) s'annulent.

Ce n'était pas surprenant. "La connaissance commune dit que l'inclinaison et l'excentricité devraient être plus instables que le demi-grand axe", a déclaré Guàrdia. Mais ensuite, lui et ses collègues ont réalisé que s'ils plaçaient la troisième planète encore plus loin du soleil, ils pourraient ajouter plus d'instabilité à leur modèle.

Ce nouveau système et les équations qui le régissaient étaient plus compliqués, et les mathématiciens n'étaient pas certains de pouvoir obtenir des résultats. Mais "c'était trop pour ignorer", a déclaré Clarke. "S'il y avait une chance de montrer que des axes semi-majeurs pouvaient dériver, alors je veux dire, vous devez poursuivre cela."

Laskar, qui a dirigé une grande partie des travaux numériques sur l'instabilité du système solaire, a déclaré que si vous superposez ce type de système solaire au nôtre, vous pourriez voir la première planète nichée tout contre le soleil, la deuxième planète où la Terre serait être, et la troisième planète tout au bout du nuage d'Oort, aux limites extérieures de notre système solaire. (En conséquence, a-t-il ajouté, cela représente une "situation très extrême" - une situation qu'il ne s'attend pas nécessairement à trouver dans notre propre galaxie.)

Plus une planète est éloignée du soleil, plus il lui faut de temps pour effectuer une orbite. Dans ce cas, la troisième planète est si éloignée que la précession des deux planètes intérieures se produit à un rythme plus rapide. Il n'est plus possible de faire la moyenne du mouvement de la dernière planète - un scénario que Lagrange et Laplace n'ont pas envisagé dans leurs comptes rendus de la stabilité du système solaire. "Cela va changer complètement la structure de l'équation", a déclaré Alain Chenciner, mathématicien également à l'Observatoire de Paris. Il y avait maintenant plus de variables dont il fallait s'inquiéter.

Clarke, Fejoz et Guàrdia ont prouvé que les orbites peuvent grossir arbitrairement. "Ils obtiennent enfin que la taille de l'orbite augmente, par opposition à la simple forme ou quelque chose comme ça", a déclaré Moeckel. "C'est l'instabilité ultime."

Même si ces changements se sont accumulés très lentement, ils se sont produits plus rapidement que prévu, ce qui suggère que dans un système planétaire réaliste, les changements pourraient s'accumuler sur des centaines de millions d'années, plutôt que sur des milliards.

En 2009, la physicienne mathématicienne Gabriella Pinzari a redécouvert indépendamment un système de coordonnées compliqué qui avait été oublié pendant des décennies, rendant possible de nouveaux travaux sur l'instabilité planétaire.

Département de mathématiques de l'Université de Padoue

Les résultats fournissent une explication potentielle de la raison pour laquelle les planètes de notre système solaire ont des orbites qui se trouvent toutes presque dans le même plan. Il montre que quelque chose d'aussi simple qu'un grand angle d'inclinaison peut être source d'une grande instabilité, à plusieurs égards. "Si vous commencez avec une situation où les inclinations mutuelles sont assez importantes, vous détruisez le système assez" rapidement "", a déclaré Chenciner. "Il aurait été détruit il y a des centaines, des milliers de siècles."

Ces preuves ont nécessité une combinaison intelligente de techniques issues de la géométrie, de l'analyse et de la dynamique — et un retour aux définitions de base.

Les mathématiciens ont représenté chaque configuration de leur système planétaire (les positions et les vitesses des planètes) comme un point dans un espace de grande dimension. Leur objectif était de montrer l'existence d'"autoroutes" à travers l'espace qui correspondent, par exemple, à de grands changements dans l'excentricité de la deuxième planète, ou dans le demi-grand axe de la troisième planète.

Pour ce faire, ils devaient d'abord exprimer chaque point en termes de coordonnées si ésotériques et complexes que presque personne n'en avait entendu parler, et encore moins essayé de les utiliser. (Les coordonnées ont été découvertes au début des années 1980 par l'astronome belge André Deprit, puis oubliées et plus tard découvertes indépendamment par Pinzari en 2009 alors qu'elle travaillait sur sa thèse de doctorat. Elles ont à peine été utilisées depuis.)

En utilisant les coordonnées de Deprit pour décrire leur espace de haute dimension de configurations planétaires, les mathématiciens ont acquis une compréhension plus profonde de sa structure. "Cela fait partie de la beauté de la preuve : réussir à gérer cette géométrie à 18 dimensions", a déclaré Fejoz.

Fejoz, Clarke et Guàrdia ont trouvé des autoroutes qui traversaient plusieurs régions spéciales dans cet espace. Ils ont ensuite utilisé leur nouvelle compréhension géométrique pour prouver que les autoroutes correspondaient à une dynamique instable dans la taille et la forme des orbites des planètes.

"Quand j'ai terminé mon doctorat il y a 30 ans", a déclaré Niederman, "nous étions extrêmement, extrêmement loin de ce genre de résultats."

"C'est un système tellement compliqué que vous avez le sentiment que tout ce qui n'est pas évidemment interdit devrait arriver", a déclaré Chenciner. "Mais il est généralement très difficile de le prouver."

Les mathématiciens espèrent maintenant utiliser les techniques de Clarke, Fejoz et Guàrdia pour prouver l'instabilité dans des modèles qui ressemblent davantage à notre propre système solaire. Ces types de résultats deviennent particulièrement significatifs à mesure que les astronomes découvrent de plus en plus d'exoplanètes en orbite autour d'autres étoiles, présentant un large éventail de configurations. "C'est comme un laboratoire ouvert", a déclaré Marian Gidea, mathématicienne à l'université Yeshiva. "Comprendre sur papier quels types d'évolutions des systèmes planétaires peuvent se produire, et comparer cela avec ce que vous êtes capable d'observer - c'est très excitant. Cela donne beaucoup d'informations sur la physique de notre univers, et sur la quantité de ce que nos mathématiques sont capables de capturer à travers des modèles relativement simples."

Dans l'espoir de faire une telle comparaison, Fejoz a discuté avec quelques astronomes de l'identification de systèmes extrasolaires qui ressemblent, même vaguement, au modèle que lui et ses collègues ont développé. D'autres chercheurs, dont Gidea, affirment que ces travaux pourraient être utiles pour concevoir des trajectoires efficaces pour des satellites artificiels ou pour déterminer comment déplacer des particules à grande vitesse dans un accélérateur de particules. Comme l'a dit Pinzari, "La recherche en mécanique céleste est toujours très vivante."

Le but ultime serait de prouver l'instabilité de notre propre système solaire. "Je me réveille au milieu de la nuit en y pensant", a déclaré Clarke. "Je dirais que ce serait le vrai rêve, mais ce serait un cauchemar, n'est-ce pas? Parce que nous serions foutus."

Correction : 16 mai 2023Cet article a été révisé pour indiquer que Marcel Guàrdia est professeur à l'Université de Barcelone. Il a quitté l'Université polytechnique de Catalogne à l'été 2022.

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16 mai 2023

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